Bilan sur les développements limités

Le cours d'aujourd'hui a été particulièrement dense. J'aimerai, dans ce message, préciser les idées essentielles que vous devez retenir sur ce chapitre.

• Une fonction quelconque peut être approximée par un polynôme au voisinage d'un point, l'intérêt étant qu'un polynôme est plus simple à manipuler qu'une fonction quelconque. Penser par exemple à exp(sinx).
• Plusieurs techniques permettent de trouver le DL des fonctions usuelles (entre autre, l'intégration et la formule de Taylor-Young).
• Une fois obtenu, les DL usuels permettent à leur tour de déterminer le DL de toute fonctions construites à partir des fonctions usuelles.
• La règle pour calculer un DL est d'appliquer ce que j'ai appelé la théorie du "alpha comme inifiniment petit" et de se souvenir que l'on ne garde que les termes d'ordre inférieur à n pour un DL_n.
• Les DL usuels particulièrement importants sont : exp(x)=1+x ; cos(x)=1-x^2/2 ; sin(x)=x-x^3/6 ; 1/(1-x)=1+x ; ln(1+x)=x-x^2/2 ; (1+x)^a=1+ax (valable pour les puissances non entières donc en particulier les racines). Les o(x^n) sont implicites ici.

Voilà, en espérant que ça vous aide dans l'assimilation du cours. Si des questions il y a, ne pas hésiter il faudra !

Les polynômes du second degré

Voici un message qui fait un petit point sur les trinômes du second degrés, comme vous me l'avez demandé ce matin. L'éditeur ne possède pas de caractère mathématique et d'éditeur d'équation donc je ferais de mon mieux question lisibilité.

Je viens d'aller voir l'article de Wikipédia : je ne ferais pas mieux comme fiche ! Je vous conseille cependant de sauter la partie de l'article sur les complexes. Quelques notions clée tout de même :

• On met le polynôme sous forme canonique (on fait apparaître le discriminent)
• Les racines du polynômes s'obtiennent à partir de cette forme canonique
• Graphiquement : la parabole est orientée vers le haut (resp. vers le bas) si a>0 (resp.a<0)
• La parabole coupe deux fois l'axe 0x s'il y a deux racines, une fois s'il y a une racine double et zéro fois si Delta (le discriminant) est négatif.

C'est, à mon avis, toutes les notions que vous devez pouvoir manipuler sur ces objets. Si vous avez des questions, laissez un commentaire : c'est fait pour ça.

Logiciels pour faire des maths

Merci à Pierre pour ces quelques liens :

• Le premier est un calculateur en ligne qui permet d'avoir la dérivée, l'intégrale, le développement limité, la courbe représentative ... bref tout sur une fonction que l'on spécifie.

• Le deuxième est un logiciel libre du nom de GéoGebra à télécharger qui permet de tracer des fonctions, ses dérivées, intégrales et tout un tas de trucs ... le tout de manière très simple. De nombreux tutoriels sont disponibles sur le net.

• Enfin, le dernier (de la journée) est un logiciel libre de calcul formel type Maple, nommé Scilab. C'est à mon avis pas nécessaire pour vous mais certain s'intéresse à ce type de logiciel, ça peut être une bonne alternative à des logiciels payants.

Chapitre 7

Chapitre 7 : Analyse vectorielle

• Qu'est-ce que l'analyse vectorielle ?
• Définition des différents types de champs
  
• Les principaux opérateurs et leur interprétation (en mécanique des fluides)
• Intégrales sur un contour et une surface, circulation et flux,
  
• Les théorèmes importants (Green Ostrogtradski et Stocks)
  
• Exemple en diffusion de la chaleur et en électromagnétisme

C'est un chapitre important en particulier pour l'étude de l'électromagnétisme (donc de l'optique et de la conversion de puissance électromécanique). Beaucoup de nouveaux objets, dont le contenu physique n'est pas toujours très clair, sont défini. A travers les exemples vus à la fin du chapitre, on tentera de se forger une intuition physique des ces objets.

Chapitre 6

Pour des questions de lisibilité, je fais plusieurs messages pour annoncer la suite du programme du cours de maths.

Chapitre 6 : Equations différentielles linéaires

• Généralités
• Motivations
• Définition générale
  
• Premiers exemples
• Propriétés des équations différentielles
• Homogène VS avec second membre
• Problème de Cauchy : les conditions initiales
• Equations différentielles du premier ordre
• Cas général
• Coefficients constants
• Exemples : modèle classique d'électron dans les métaux, charge de condensateur
  
• Equations différentielles du second ordre
  
• Coefficients constants (uniquement)
• Exemple : électron élastiquement lié forcé par une onde monochromatique
  
• Equations aux dérivée partielles
• Définition
• Exemples
• Equation de contuinité en EM
• Equation de propagation
• Equation de Diffusion

Ce chapitre ne fait pas appel à des notions réellement nouvelles mais reste très important : que ce soit en électromagnétisme, en physique des (semi-)conducteurs, en physique des ondes (donc l'optique), l'expression mathématique des principes physiques se fait sous forme d'équation différentielle.

On se restreindra essentiellement aux équations différentielles classique de la physique donc linéaires et à coefficients constants. On donnera les équations aux dérivées partielles rencontrées en physique (prolongement naturel du chapitre sur les fonctions à plusieurs variables).

Des cours en vidéo sur le net

Un de vos collègue m'a envoyé un lien vers des cours en vidéo gratuits. Le niveau est un bon Terminal S donc cela peut-être intéressant pour vous. Le prof traite des exemples détaillés sur chaque vidéo (par exemple sur la vidéo sur le module des complexe, il calcule explicitement des modules de nombre complexes), ce que je n'ai pas le temps de faire en cours. Tous les sujets que l'on va traiter cette années ne sont pas abordés cependant.

Chapitre 5

Une fois le chapitre sur le calcul intégral vu, il reste 3 chapitre avant l'Algèbre Linéaire (dont les objectifs sont encore à définir). Je vous propose un plan sommaire de ces 3 chapitres avec les liens qui s'y rapportent pour que vous puissiez voir ce qui vous attend.


Chapitre 5 : Fonctions de plusieurs variables

• Généralités
• Motivations
• Définitions
• Représentation graphique (pour deux variables)
  
• Dérivation
• Application partielle et dérivée partielle
• Dérivée composée
• Notion de différentielle
  
• Développement limité
• Au premier ordre : application à la recherche d'extrêmûm
• Au deuxième ordre
  
• Notion d'intégrales multiples
  
• Exemple en analyse de données : régression linéaire et minimisation de Chi^2

Ce chapitre sera relativement nouveau et très important. Il donne les bases pour aller plus loin dans tous les domaines où les fonctions de plusieurs variables apparaissent, comme, par exemple : les statistiques où plus d'un paramètre intervient, la physique ondulatoire, (dont l'optique) l'électromagnétisme (dont la conversion de puissance électromécanique), la mécanique des milieux continus (dont la mécanique des solides) ...